私が新しく勤めることになった職場のパートのお仕事は、物流業で日によって勤務時間が変動します。

契約では、週４日５時間勤務なのでギリギリ雇用保険に加入できる範囲です。

でも、会社の都合によって勤務時間をカットされて週２０時間を超えなかったら、その仕事を辞めたときに、雇用保険の失業保険？はもらえないのでしょうか？？

雇用保険受給の基本を申し上げますと、会社都合退職なら過去1年間に6ヶ月以上雇用保険被保険者期間があること、自己都合退職なら過去2年間に12ヶ月以上あるかどうかで決まります。それで判断して下さい。
「補足」
週20時間を超えてないと会社は雇用保険に加入義務がありません。ですので大丈夫ではありません。
会社が加入しなくて雇用保険被保険者期間が6ヶ月以上にならなければ受給が出来ません。

失業保険の受給について教えてください。退職日は2/1ですが、1月から会社に来なくてもよいといわれました。1月中はアルバイトをしようと思ってますが、アルバイトをした場合、失業保険はもらえるのでしょうか。
詳細な状況は下記の通りです。
・退職理由は会社都合
・半年以上勤務
・2月まで会社に在籍、給料も支払われる状況

お教えいただければ幸いです。
どうぞ宜しくお願い致します。

雇用保険の受給手続きをするまではアルバイトしても大丈夫ですよ。
会社都合だと2/1以降に会社がハローワークで離職票の交付手続きをしてあなたに離職票を交付します。それを持って雇用保険の手続きに行くのですがそこから待機期間7日を経て受給期間が始まります。そこで説明されますよ。 なので始まるまでは大丈夫です。

失業保険の加入期間ですが、派遣で何社かで働いた場合でもすべて合算できますか？職安に行く前に通算加入期間を調べることってできますか？
ちなみに私は４２歳、９月末で会社都合で終了、加入期間４年１１か月、前職１年０か月、前前職０年９か月、・・・・・・・全部で６社、勤務年数を合計するとちょうど１０年０か月です。加入期間が５年、１０年で受給期間が違うようなので、失業保険をいただく手続きをするか、すぐにでも再就職先を探して加入期間を増やした方がいいのか悩んでいます。

１年以上の間隔が開いてなければ通算されます。
すぐに職安に行ってご自身の算定基礎機関が何年あるのか聞いた方が良いと思います。
９年１１カ月と１０年では支給日数に６０日も差が出ます。

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